선형시스템(linear system)이란 해당 시스템의 수학적 모형이 선형 연산을 기본으로 한 시스템을 말합니다. 어떠한 시스템의 모델이 하나의 미분방정식으로 표기될 때, 그 계수가 상수거나 혹은 독립변수만의 함수라면 그 미분방정식은 선형입니다.
'선형적이다' 라는 표현은 영어로 linear하다 라고 말합니다. linear란 line(선)의 형용사 형태입니다. 이 말에서 유추할 수 있듯이 선형적이라는 것은 어떤 성질이 변하는데 그 변수가 1차원적이다. 즉 어떤 신호에 기울기만 곱한 형태와 같다는 것입니다.
실제로 완전한 선형적인 시스템을 구현하기 위해서는 기울기(a)만 있고 상수항(b)이 없어도 되지만, 많은 경우 고정된 상수항이 있다면 그것은 예측가능한 부분이기 때문에 굳이 비선형적이라고는 하지 않습니다. 이런 경우 incremental linear라해서 아무 입력이 없을 때 초기값이 존재한다는 가정하에 선형적이라고 표현할 수 있습니다.
이렇게 직선적인 어떤 변화의 양상을 가진다는 것은 우선 초기값만으로 그 변화가 쉽게 유추가 가능하다는 심오한 의미도 담겨있습니다.
선형시스템의 가장 큰 특징은 중첩의 원리가 잘 적용됩니다. 중첩의 원리는 어떠한 시스템에서 두 개의 서로 다른 입력을 동시에 가했을 때 얻어 지는 출력은 두 개의 입력을 각각 따로 가했을 때 얻어지는 출력들의 합과 같다는 것입니다. 예를 들어 욕조에 목욕물을 받는 경우 더운물과 찬물을 동시에 틀어서 목욕물의 온도를 맞추는 경우와 더운물과 찬물을 각각 따로 받아서 섞는 경우에 최종 온도가 같다면, 그 시스템은 중첩의 원리가 적용되는 선형시스템입니다. 반면에 어떠한 이유로 그 결과가 다르다면 그 시스템은 비선형(non-linear) 시스템이 됩니다.
선형시스템의 경우 입력단에서의 합 입력에 대한 출력은 각각의 입력에 대한 출력의 합과 같습니다. 위의 그림(a)에서 보듯이 입력 3 에 대한 출력이 300, 입력 5에 대한 출력이 500이면 입력에 대한 출력은 800으로 각각의 출력의 합 300+500과 같습니다. 반면 입출력 관계가 (b)와 같은 비선형시스템이면, 입력 3에 대한 출력 120과 입력 5에 대한 출력 280을 합친 값과 입력 8에 대한 출력 값 750이 일치하지 않습니다.
따라서 비선형 시스템은 어떠한 초기값이나 동작점을 중심으로 입력단에서 같은 양을 가감하더라도 그 동작점에 위치에 따라 출력 값이 매우 많이 변화하므로 동작점에 대한 정보와 초기값에 대한 정보가 매우 중요합니다.
다시 선형 시스템 여부를 판별하는 방법은 상태변수 초기값과 입력의 크기를 α배 키웠을 때 출력도 α배가 커지는 지
두 번째는 두 개의 상태변수 초기값(x), 그리고 입력(u)를 더해서 시스템에 인가했을 때 출력도 각각의 입력에 해당하는 출력이 더해져서 나오는지 확인하는 것입니다.
만약 이 두가지가 모두 충족되면 그 시스템은 중첩의 원리를 만족한다고 하며 선형 시스템이라고 부른다. 선형시스템이 아니면 비선형 시스템(non-linear system)입니다.
# reference
http://www.rfdh.com/bas_rf/begin/linear.htm
